【最短路径】:Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法

求最短路径最常用的算法有:
Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法这三个求单源最短路径,最后一个Floyd-Warshall算法可以求全局最短路径也可以求单源路径,效率比较低。
SPFA算法是Bellman算法的队列优化
Dijkstra算法不能求带负权边的最短路径,而SPFA算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall可以求带负权边的最短路径。
Bellman-Ford算法的核心代码只有4行,Floyd-Warshall算法的核心代码只有5行。

1.最基本的求单源最短路径方法是图的深度优先遍历
用 min = 99999999 记录路径的最小值,book[i]标记结点 i 是否被访问过~

2.单源最短路径:Dijkstra算法
dis[i]是需要不断更新的数组,它表示当前结点1(源点)到其余各结点的最短路径长度~
book[i]标记当前结点最短路径是确定值还是估计值~
算法实现的过程是:每次找到离结点1最近的那个点,然后以该结点为中心扩展,最终得到源点到所有点的最短路径~~每次新扩展一个距离最短的点,更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时,由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点,所以这个点的距离永远不会再被改变,因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理,用Dijkstra求最短路的图不能有负权边,因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离,有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质~~
找到所有估计值当中最小的值min以及它的结点u,然后把该结点u标记为确定值,通过这个确定值为中转点更新别的所有值的最短路径(松弛别的两个顶点连接的边)

3.Bellman-Ford算法——解决负权边
算法思想:对所有的边进行n-1次“松弛”操作

4.Bellman-Ford的队列优化(SPFA算法)
每次选取首顶点u,对u的所有出边进行松弛操作~如果有一条u->v的边,通过这条边使得源点到顶点v的路程变短,且顶点v不在当前队列中,就把这个顶点v放入队尾。同一个顶点在队列中出现多次是毫无意义的,所以用一个数组来判重复,判断哪些点已经在队列中。对顶点u的所有出边都松弛完毕后,就将顶点v出队~

 

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