【数据结构】图论算法笔记整理

图的遍历

  • 有两种存储方式:邻接矩阵和邻接表
  • 在一些顶点数目比较大(一般顶点个数在1000以上)的情况下,使用邻接表而不是邻接矩阵来存储图。如果是稀疏图,用邻接表,如果是稠密图,用邻接矩阵。

深度优先搜索dfs遍历图

  • 按深度优先的方式访问所有未被访问的结点,在结点被访问过后标记为已访问

广度优先搜索bfs遍历图

  • 建立一个队列,把初始定点加入队列,然后每次都取出队首元素进行访问,并把该定点除法可以到达的未曾加入过队列(而不是未访问)的定点全部加入队列,直到队列为空

最短路径

  • 单源最短路径:计算源点到其他各顶点的最短路径的长度
  • 全局最短路径:图中任意两点的最短路径
  • Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA求单源最短路径
  • Floyed可以求全局最短路径,但是效率比较低
  • SPFA算法是Bellman-Ford算法的队列优化
  • Dijkstra算法不能求带负权边的最短路径,而SPFA算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall可以求带负权边的最短路径。
  • Bellman-Ford算法的核心代码只有4行,Floyd-Warshall算法的核心代码只有5行。
  • 深度优先遍历可以求一个点到另一个点的最短路径的长度

Dijkstra算法

  • 三种附加考法:第一标尺是距离,如果距离相等的时候,新增第二标尺
    • 新增边权(第二标尺),要求在最短路径有多条时要求路径上的花费之和最小

    • 给定每个点的点权(第二标尺),要求在最短路径上有多条时要求路径上的点权之和最大

    • 直接问有多少条最短路径

    增加一个数组num[],num[s] = 1,其余num[u] = 0,表示从起点s到达顶点u的最短路径的条数为num[u]

  • 例子:比如说又要路径最短,又要点权权值最大,而且还要输出个数,而且还要输出路径

  • of course, 可以不用这么麻烦,用Dijkstra求最短路径和pre数组,然后用深度优先遍历来获取想知道的一切,包括点权最大,边权最大,路径个数,路径
  • 因为可能有多条路径,所以Dijkstra部分的pre数组使用vector<int> pre[maxv];
  • 既然已经求得pre数组,就知道了所有的最短路径,然后要做的就是用dfs遍历所有最短路径,找出一条使第二标尺最优的路径
  • 解释:
    • 对于递归边界而言,如果当前访问的结点是叶子结点(就是路径的开始结点),那么说明到达了递归边界,把v压入temppath,temppath里面就保存了一条完整的路径。如果计算得到的当前的value大于最大值,就path = temppath,然后把temppath的最后一个结点弹出,return ;
    • 对于递归式而言,每一次都是把当前访问的结点压入,然后找他的pre[v][i],进行递归,递归完毕后弹出最后一个结点
  • 计算当前temppath边权或者点权之和的代码:
  • 计算路径直接在Dijkstra部分写就可以
  • 例子:计算最短距离的路径和最小花费
  • 关于初始化:除了weight和cost(点权和边权)都要初始化,pre初始化为它自己本身,e和dis初始化为inf,visit因为开了全局变量,自动初始化为了false。在dijkstra循环开始之前,要把dis[start] = 0;

L3-007. 天梯地图-PAT团体程序设计天梯赛GPLT

L3-007. 天梯地图
本题要求你实现一个天梯赛专属在线地图,队员输入自己学校所在地和赛场地点后,该地图应该推荐两条路线:一条是最快到达路线;一条是最短距离的路线。题目保证对任意的查询请求,地图上都至少存在一条可达路线。

输入格式:

输入在第一行给出两个正整数N(2 <= N <=500)和M,分别为地图中所有标记地点的个数和连接地点的道路条数。随后M行,每行按如下格式给出一条道路的信息:

V1 V2 one-way length time

其中V1和V2是道路的两个端点的编号(从0到N-1);如果该道路是从V1到V2的单行线,则one-way为1,否则为0;length是道路的长度;time是通过该路所需要的时间。最后给出一对起点和终点的编号。

输出格式:

首先按下列格式输出最快到达的时间T和用节点编号表示的路线:

Time = T: 起点 => 节点1 => … => 终点

然后在下一行按下列格式输出最短距离D和用节点编号表示的路线:

Distance = D: 起点 => 节点1 => … => 终点

如果最快到达路线不唯一,则输出几条最快路线中最短的那条,题目保证这条路线是唯一的。而如果最短距离的路线不唯一,则输出途径节点数最少的那条,题目保证这条路线是唯一的。

如果这两条路线是完全一样的,则按下列格式输出:

Time = T; Distance = D: 起点 => 节点1 => … => 终点

输入样例1:
10 15
0 1 0 1 1
8 0 0 1 1
4 8 1 1 1
5 4 0 2 3
5 9 1 1 4
0 6 0 1 1
7 3 1 1 2
8 3 1 1 2
2 5 0 2 2
2 1 1 1 1
1 5 0 1 3
1 4 0 1 1
9 7 1 1 3
3 1 0 2 5
6 3 1 2 1
5 3
输出样例1:
Time = 6: 5 => 4 => 8 => 3
Distance = 3: 5 => 1 => 3
输入样例2:
7 9
0 4 1 1 1
1 6 1 3 1
2 6 1 1 1
2 5 1 2 2
3 0 0 1 1
3 1 1 3 1
3 2 1 2 1
4 5 0 2 2
6 5 1 2 1
3 5
输出样例2:
Time = 3; Distance = 4: 3 => 2 => 5

分析:用两个Dijkstra + DFS。一个求最快路径(如果相同求路径的那条),一个求最短路径(如果相同求结点数最小的那条)~~~求最快路径可以直接在Dijkstra里面求前驱结点Timepre数组~~~求最短路径因为要求结点数最小的那条,所以要用dispre的二维数组存储所有结点的最短路径,然后用DFS求出满足条件的结点数最小的那条~~~~
注意:
1.一开始最后一个测试用例“答案错误”,后来发现是自己在求最短路径(第二个答案distance)的时候忘记了temppath每一次深搜结束后的pop_back();
2.如果直接使用DFS的话,会导致最后一个测试用例“运行超时”~~~

 

1111. Online Map (30)-PAT甲级真题(Dijkstra + DFS)

1111. Online Map (30)
Input our current position and a destination, an online map can recommend several paths. Now your job is to recommend two paths to your user: one is the shortest, and the other is the fastest. It is guaranteed that a path exists for any request.

Input Specification:

Each input file contains one test case. For each case, the first line gives two positive integers N (2 <= N <= 500), and M, being the total number of streets intersections on a map, and the number of streets, respectively. Then M lines follow, each describes a street in the format:

V1 V2 one-way length time

where V1 and V2 are the indices (from 0 to N-1) of the two ends of the street; one-way is 1 if the street is one-way from V1 to V2, or 0 if not; length is the length of the street; and time is the time taken to pass the street.

Finally a pair of source and destination is given.

Output Specification:

For each case, first print the shortest path from the source to the destination with distance D in the format:

Distance = D: source -> v1 -> … -> destination

Then in the next line print the fastest path with total time T:

Time = T: source -> w1 -> … -> destination

In case the shortest path is not unique, output the fastest one among the shortest paths, which is guaranteed to be unique. In case the fastest path is not unique, output the one that passes through the fewest intersections, which is guaranteed to be unique.

In case the shortest and the fastest paths are identical, print them in one line in the format:

Distance = D; Time = T: source -> u1 -> … -> destination

Sample Input 1:
10 15
0 1 0 1 1
8 0 0 1 1
4 8 1 1 1
3 4 0 3 2
3 9 1 4 1
0 6 0 1 1
7 5 1 2 1
8 5 1 2 1
2 3 0 2 2
2 1 1 1 1
1 3 0 3 1
1 4 0 1 1
9 7 1 3 1
5 1 0 5 2
6 5 1 1 2
3 5
Sample Output 1:
Distance = 6: 3 -> 4 -> 8 -> 5
Time = 3: 3 -> 1 -> 5
Sample Input 2:
7 9
0 4 1 1 1
1 6 1 1 3
2 6 1 1 1
2 5 1 2 2
3 0 0 1 1
3 1 1 1 3
3 2 1 1 2
4 5 0 2 2
6 5 1 1 2
3 5
Sample Output 2:
Distance = 3; Time = 4: 3 -> 2 -> 5

题目大意:给一张地图,两个结点中既有距离也有时间,有的单行有的双向,要求根据地图推荐两条路线:一条是最快到达路线,一条是最短距离的路线。
第一行给出两个整数N和M,表示地图中地点的个数和路径的条数。接下来的M行每一行给出:道路结点编号V1 道路结点编号V2 是否单行线 道路长度 所需时间
要求第一行输出最快到达时间Time和路径,第二行输出最短距离Distance和路径

分析:用两个Dijkstra + DFS。一个求最短路径(如果相同求时间最短的那条),一个求最快路径(如果相同求结点数最小的那条)~~~求最短路径可以直接在Dijkstra里面求前驱结点pre数组~~~求最快路径因为要求结点数最小的那条,所以要用pre的二维数组存储所有结点的最快路径,然后用DFS求出满足条件的结点数最小的那条~~~~
注意:
1.一开始最后一个测试用例“答案错误”,后来发现是自己在求最快路径的时候忘记了temppath每一次深搜结束后的pop_back();
2.如果直接使用DFS的话,会导致最后一个测试用例“运行超时”~~~

 

1087. All Roads Lead to Rome (30)-PAT甲级真题(Dijkstra + DFS)

1087. All Roads Lead to Rome (30)
Indeed there are many different tourist routes from our city to Rome. You are supposed to find your clients the route with the least cost while gaining the most happiness.

Input Specification:

Each input file contains one test case. For each case, the first line contains 2 positive integers N (2<=N<=200), the number of cities, and K, the total number of routes between pairs of cities; followed by the name of the starting city. The next N-1 lines each gives the name of a city and an integer that represents the happiness one can gain from that city, except the starting city. Then K lines follow, each describes a route between two cities in the format “City1 City2 Cost”. Here the name of a city is a string of 3 capital English letters, and the destination is always ROM which represents Rome.

Output Specification:

For each test case, we are supposed to find the route with the least cost. If such a route is not unique, the one with the maximum happiness will be recommended. If such a route is still not unique, then we output the one with the maximum average happiness — it is guaranteed by the judge that such a solution exists and is unique.

Hence in the first line of output, you must print 4 numbers: the number of different routes with the least cost, the cost, the happiness, and the average happiness (take the integer part only) of the recommended route. Then in the next line, you are supposed to print the route in the format “City1->City2->…->ROM”.

Sample Input:
6 7 HZH
ROM 100
PKN 40
GDN 55
PRS 95
BLN 80
ROM GDN 1
BLN ROM 1
HZH PKN 1
PRS ROM 2
BLN HZH 2
PKN GDN 1
HZH PRS 1
Sample Output:
3 3 195 97
HZH->PRS->ROM

题目大意:有N个城市,M条无向边,从某个给定的起始城市出发,前往名为ROM的城市。每个城市(除了起始城市)都有一个点权(称为幸福值),和边权(每条边所需的花费)。求从起点到ROM所需要的最少花费,并输出其路径。如果路径有多条,给出幸福值最大的那条。如果仍然不唯一,选择路径上的城市平均幸福值最大的那条路径。

分析:Dijkstra+DFS。Dijkstra算出所有最短路径的路线pre二维数组,DFS求最大happiness的路径path,并求出路径条数,最大happiness,最大average。
注意:average是除去起点的average。城市名称可以用m存储字符串所对应的数字,用m2存储数字对应的字符串。