[note] 对于海涅定理(归结原则)一点理解~

海涅定理的定义如下:

设f(x)在内有定义,则 存在 ⇔ 对任何以  为极限的数列,极限 存在。

这个定理的意思是:如果在时,的极限存在且为A,那么在时极限为  的任何数列,都应该满足时,的极限也存在,而且也为A。(这句话对所有数列都应该有效,只要的极限是

海涅定理将函数极限和数列极限联系起来,根据海涅定理,求函数极限则可化为求数列极限,同样求数列极限也可转化为求函数极限。其实海涅定理可以用来证明一些函数的性质、优化极限的运算等,尤其是为证明某个函数极限不存在提供了一种新的思路~

比如想要证明  这个极限不存在,我们可以根据海涅定理中函数极限和数列极限的联系来找数列,既然定理中的数列可以是满足条件下的任意数列,题目中函数极限的 表示此时的  为 0,

那么比如找到一个数列,这个数列正好符合在时极限为0(也就是)的条件,可以发现这个数列对应的 =

,可以知道对于这个数列,极限是存在的,并且极限等于 0

既然数列是任意一个都应该满足,那么可以重新再找一个数列看看它极限是否存在。比如又找了一个新数列,这个数列也符合在时极限为0(也就是)的条件,而此时

,可以知道对于这个数列,极限是不存在的

既然找到了两个都是满足海涅定理规定的在时极限为的条件的数列,所以如果 的极限存在且为A,那么找到的这两个也都应该满足时,的极限存在且为A,然而结果并不是这样,第一个极限存在,但是第二个极限不存在,说明本身 的极限也是不存在的~证明完毕~


再举一个应用的例子~比如想要求数列的极限,可以转化为求函数的极限~

比如求数列极限(n为正整数)

根据海涅定理,可以取  ,那么原式对应的函数极限为,求得这个函数的极限为  ,那么原数列的极限也为  ,这样就求出来啦~~~

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