【最短路径】之Dijkstra算法

最短路径

  • 单源最短路径:计算源点到其他各顶点的最短路径的长度
  • 全局最短路径:图中任意两点的最短路径
  • Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA求单源最短路径
  • Floyed可以求全局最短路径,但是效率比较低
  • SPFA算法是Bellman-Ford算法的队列优化
  • Dijkstra算法不能求带负权边的最短路径,而SPFA算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall可以求带负权边的最短路径。
  • Bellman-Ford算法的核心代码只有4行,Floyd-Warshall算法的核心代码只有5行。
  • 深度优先遍历可以求一个点到另一个点的最短路径的长度

Dijkstra算法

  • 三种附加考法:第一标尺是距离,如果距离相等的时候,新增第二标尺
    • 新增边权(第二标尺),要求在最短路径有多条时要求路径上的花费之和最小

    • 给定每个点的点权(第二标尺),要求在最短路径上有多条时要求路径上的点权之和最大

    • 直接问有多少条最短路径

    增加一个数组num[],num[s] = 1,其余num[u] = 0,表示从起点s到达顶点u的最短路径的条数为num[u]

  • 例子:比如说又要路径最短,又要点权权值最大,而且还要输出个数,而且还要输出路径

  • of course, 可以不用这么麻烦,用Dijkstra求最短路径和pre数组,然后用深度优先遍历来获取想知道的一切,包括点权最大,边权最大,路径个数,路径
  • 因为可能有多条路径,所以Dijkstra部分的pre数组使用vecto<int> pre[maxv];
  • 既然已经求得pre数组,就知道了所有的最短路径,然后要做的就是用dfs遍历所有最短路径,找出一条使第二标尺最优的路径
  • 解释:
    • 对于递归边界而言,如果当前访问的结点是叶子结点(就是路径的开始结点),那么说明到达了递归边界,把v压入temppath,temppath里面就保存了一条完整的路径。如果计算得到的当前的value大于最大值,就path = temppath,然后把temppath的最后一个结点弹出,return ;
    • 对于递归式而言,每一次都是把当前访问的结点压入,然后找他的pre[v][i],进行递归,递归完毕后弹出最后一个结点
  • 计算当前temppath边权或者点权之和的代码:
  • 计算路径直接在Dijkstra部分写就可以
  • 例子:计算最短距离的路径和最小花费