liuchuo – 第190页

1103. Integer Factorization (30)-PAT甲级真题（dfs深度优先）

The K-P factorization of a positive integer N is to write N as the sum of the P-th power of K positive integers. You are supposed to write a program to find the K-P factorization of N for any positive integers N, K and P.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives in a line the three positive integers N (<=400), K (<=N) and P (1<P<=7). The numbers in a line are separated by a space.

Output Specification:

For each case, if the solution exists, output in the format:

N = n1^P + … nK^P

where ni (i=1, … K) is the i-th factor. All the factors must be printed in non-increasing order.

Note: the solution may not be unique. For example, the 5-2 factorization of 169 has 9 solutions, such as 122 + 42 + 22 + 22 + 12, or 112 + 62 + 22 + 22 + 22, or more. You must output the one with the maximum sum of the factors. If there is a tie, the largest factor sequence must be chosen — sequence { a1, a2, … aK } is said to be larger than { b1, b2, … bK } if there exists 1<=L<=K such that ai=bi for i<L and aL>bL

If there is no solution, simple output “Impossible”.

Sample Input 1:
169 5 2
Sample Output 1:
169 = 6^2 + 6^2 + 6^2 + 6^2 + 5^2
Sample Input 2:
169 167 3
Sample Output 2:
Impossible

题目大意：给三个正整数N、K、P，将N表示成K个正整数（可以相同，递减排列）的P次方和，如果有多种方案，选择底数n1+…+nk最大的方案，如果还有多种方案，选择底数序列的字典序最大的方案～

分析：dfs深度优先搜索。先把i从0开始所有的i的p次方的值存储在v[i]中，直到v[i] > n为止。然后深度优先搜索，记录当前正在相加的index（即v[i]的i的值），当前的总和tempSum，当前K的总个数tempK，以及因为题目中要求输出因子的和最大的那个，所以保存一个facSum为当前因子的和，让它和maxFacSum比较，如果比maxFacSum大就更新maxFacSum和要求的ans数组的值。
在ans数组里面存储因子的序列，tempAns为当前深度优先遍历而来的序列，从v[i]的最后一个index开始一直到index == 1，因为这样才能保证ans和tempAns数组里面保存的是从大到小的因子的顺序。一开始maxFacSum == -1，如果dfs后maxFacSum并没有被更新，还是-1，那么就输出Impossible，否则输出答案。

（PS：感谢github用户littlesevenmo提供的更优解）
分析：这道题考的是DFS+剪枝，我认为主要剪枝的地方有三个：
1. tempK==K但是tempSum!=n的时候需要剪枝
2. 在枚举的时候，按顺序枚举，上界或者下界可进行剪枝
3. 当且仅当tempSum + v[index] <= n时，进行下一层的DFS，而不要进入下一层DFS发现不满足条件再返回，这样开销会比较大～

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
int n, k, p, maxFacSum = -1;
vector<int> v, ans, tempAns;
void init() {
    int temp = 0, index = 1;
    while (temp <= n) {
        v.push_back(temp);
        temp = pow(index, p);
        index++;
    }
}
void dfs(int index, int tempSum, int tempK, int facSum) {
    if (tempK == k) {
        if (tempSum == n && facSum > maxFacSum) {
                ans = tempAns;
                maxFacSum = facSum;
        }
        return;
    }
    while(index >= 1) {
        if (tempSum + v[index] <= n) {
            tempAns[tempK] = index;
            dfs(index, tempSum + v[index], tempK + 1, facSum + index);
        }
        if (index == 1) return;
        index--;
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    init(); 
    tempAns.resize(k);
    dfs(v.size() - 1, 0, 0, 0);
    if (maxFacSum == -1) {
        printf("Impossible");
        return 0;
    }
    printf("%d = ", n);
    for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
        if (i != 0) printf(" + ");
        printf("%d^%d", ans[i], p);
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <vector>

#include <cmath>

using namespace std;

int n, k, p, maxFacSum = -1;

vector<int> v, ans, tempAns;

void init() {

int temp = 0, index = 1;

while (temp <= n) {

v.push_back(temp);

temp = pow(index, p);

index++;

}

void dfs(int index, int tempSum, int tempK, int facSum) {

if (tempK == k) {

if (tempSum == n && facSum > maxFacSum) {

ans = tempAns;

maxFacSum = facSum;

}

return;

}

while(index >= 1) {

if (tempSum + v[index] <= n) {

tempAns[tempK] = index;

dfs(index, tempSum + v[index], tempK + 1, facSum + index);

}

if (index == 1) return;

index--;

}

int main() {

scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);

init();

tempAns.resize(k);

dfs(v.size() - 1, 0, 0, 0);

if (maxFacSum == -1) {

printf("Impossible");

return 0;

}

printf("%d = ", n);

for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {

if (i != 0) printf(" + ");

printf("%d^%d", ans[i], p);

}

return 0;

}

L2-012. 关于堆的判断-PAT团体程序设计天梯赛GPLT

将一系列给定数字顺序插入一个初始为空的小顶堆H[]。随后判断一系列相关命题是否为真。命题分下列几种：

“x is the root”：x是根结点；
“x and y are siblings”：x和y是兄弟结点；
“x is the parent of y”：x是y的父结点；
“x is a child of y”：x是y的一个子结点。
输入格式：

每组测试第1行包含2个正整数N（<= 1000）和M（<= 20），分别是插入元素的个数、以及需要判断的命题数。下一行给出区间[-10000, 10000]内的N个要被插入一个初始为空的小顶堆的整数。之后M行，每行给出一个命题。题目保证命题中的结点键值都是存在的。

输出格式：

对输入的每个命题，如果其为真，则在一行中输出“T”，否则输出“F”。

输入样例：
5 4
46 23 26 24 10
24 is the root
26 and 23 are siblings
46 is the parent of 23
23 is a child of 10
输出样例：
F
T
F
T

分析：必须注意，因为题目要求按照插入的顺序建立，所以是边插入边调整的，必须用向上调整，每次输入一个数之后就将它向上调整。（两者建立出来的二叉树不同）而不能采用先转换为二叉树的方式再向下调整。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
vector<int> v;
int n;
void upAdjust(int i) {
    if(i == 1) return ;
    while(i != 1) {
        if(v[i] < v[i / 2]) {
            swap(v[i], v[i / 2]);
            i = i / 2;
        } else {
            break;
        }
    }
}
void judge1(int a) {
    if(v[1] == a) printf("T\n");
    else printf("F\n");
}
void judge2(int a, int b) {
    int indexa = 0, indexb = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(v[i] == a) indexa = i;
        if(v[i] == b) indexb = i;
    }
    if(indexa > indexb) swap(indexa, indexb);
    if(indexa % 2 == 0 && indexb - indexa == 1) printf("T\n");
    else printf("F\n");
}
void judge3(int a, int b) {
    int indexa = 0, indexb = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(v[i] == a) indexa = i;
        if(v[i] == b) indexb = i;
    }
    if((2 * indexa) == indexb || (2 * indexa) + 1 == indexb) printf("T\n");
    else printf("F\n");
}
void judge4(int a, int b) {
    int indexa = 0, indexb = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(v[i] == a) indexa = i;
        if(v[i] == b) indexb = i;
    }
    if(indexa == indexb * 2 || indexa == 2 * indexb + 1) printf("T\n");
    else printf("F\n");
}
int main() {
    int k, a, b;
    char c[100];
    scanf("%d%d", &n, &k);
    v.resize(n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &v[i]);
        upAdjust(i);
    }
    for(int i = 0; i < k; i++) {
        scanf("%d%s", &a, c);
        if(strcmp(c, "and") == 0) {
            scanf("%d%s%s", &b, c, c);
            judge2(a, b);
        } else {
            scanf("%s", c);
            if(strcmp(c, "a") == 0) {
                scanf("%s%s%d", c, c, &b);
                judge4(a, b);
            } else {
                scanf("%s", c);
                if(strcmp(c, "root") == 0) {
                    judge1(a);
                } else {
                    scanf("%s%d", c, &b);
                    judge3(a, b);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

#include <cstdio>

#include <vector>

#include <cstring>

using namespace std;

vector<int> v;

int n;

void upAdjust(int i) {

if(i == 1) return ;

while(i != 1) {

if(v[i] < v[i / 2]) {

swap(v[i], v[i / 2]);

i = i / 2;

} else {

break;

}

void judge1(int a) {

if(v[1] == a) printf("T\n");

else printf("F\n");

}

void judge2(int a, int b) {

int indexa = 0, indexb = 0;

for(int i = 1; i <= n; i++) {

if(v[i] == a) indexa = i;

if(v[i] == b) indexb = i;

}

if(indexa > indexb) swap(indexa, indexb);

if(indexa % 2 == 0 && indexb - indexa == 1) printf("T\n");

else printf("F\n");

}

void judge3(int a, int b) {

int indexa = 0, indexb = 0;

for(int i = 1; i <= n; i++) {

if(v[i] == a) indexa = i;

if(v[i] == b) indexb = i;

}

if((2 * indexa) == indexb || (2 * indexa) + 1 == indexb) printf("T\n");

else printf("F\n");

}

void judge4(int a, int b) {

int indexa = 0, indexb = 0;

for(int i = 1; i <= n; i++) {

if(v[i] == a) indexa = i;

if(v[i] == b) indexb = i;

}

if(indexa == indexb * 2 || indexa == 2 * indexb + 1) printf("T\n");

else printf("F\n");

}

int main() {

int k, a, b;

char c[100];

scanf("%d%d", &n, &k);

v.resize(n + 1);

for(int i = 1; i <= n; i++) {

scanf("%d", &v[i]);

upAdjust(i);

}

for(int i = 0; i < k; i++) {

scanf("%d%s", &a, c);

if(strcmp(c, "and") == 0) {

scanf("%d%s%s", &b, c, c);

judge2(a, b);

} else {

scanf("%s", c);

if(strcmp(c, "a") == 0) {

scanf("%s%s%d", c, c, &b);

judge4(a, b);

} else {

scanf("%s", c);

if(strcmp(c, "root") == 0) {

judge1(a);

} else {

scanf("%s%d", c, &b);

judge3(a, b);

}

return 0;

}

L1-022. 奇偶分家-PAT团体程序设计天梯赛GPLT

给定N个正整数，请统计奇数和偶数各有多少个？
输入格式：
输入第一行给出一个正整N（<= 1000）；第2行给出N个正整数，以空格分隔。
输出格式：
在一行中先后输出奇数的个数、偶数的个数。中间以1个空格分隔。
输入样例：
9
88 74 101 26 15 0 34 22 77
输出样例：
3 6

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, cnta = 0, cntb = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int temp;
        cin >> temp;
        if(temp % 2 == 0)
            cntb++;
        else
            cnta++;
    }
    cout << cnta << " " << cntb;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n, cnta = 0, cntb = 0;

cin >> n;

for(int i = 0; i < n; i++) {

int temp;

cin >> temp;

if(temp % 2 == 0)

cntb++;

else

cnta++;

}

cout << cnta << " " << cntb;

return 0;

}

L1-021. 重要的话说三遍-PAT团体程序设计天梯赛GPLT

这道超级简单的题目没有任何输入。
你只需要把这句很重要的话 —— “I’m gonna WIN!”’——连续输出三遍就可以了。
注意每遍占一行，除了每行的回车不能有任何多余字符。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    cout << "I'm gonna WIN!\nI'm gonna WIN!\nI'm gonna WIN!";
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

cout << "I'm gonna WIN!\nI'm gonna WIN!\nI'm gonna WIN!";

return 0;

}

L1-013. 计算阶乘和-PAT团体程序设计天梯赛GPLT

对于给定的正整数N，需要你计算 S = 1! + 2! + 3! + … + N!。
输入格式：
输入在一行中给出一个不超过10的正整数N。
输出格式：
在一行中输出S的值。
输入样例：
3
输出样例：
9

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, ans = 0;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int temp = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j++) temp *= j;
        ans += temp;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n, ans = 0;

cin >> n;

for(int i = 1; i <= n; i++) {

int temp = 1;

for(int j = 1; j <= i; j++) temp *= j;

ans += temp;

}

cout << ans;

return 0;

}

L1-012. 计算指数-PAT团体程序设计天梯赛GPLT

真的没骗你，这道才是简单题 —— 对任意给定的不超过10的正整数n，要求你输出2n。不难吧？
输入格式：
输入在一行中给出一个不超过10的正整数n。
输出格式：
在一行中按照格式“2^n = 计算结果”输出2n的值。
输入样例：
5
输出样例：
2^5 = 32

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << "2^" << n << " = "<< pow(2, n);
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n;

cout << "2^" << n << " = "<< pow(2, n);

return 0;

}