【01背包问题】:动态规划、回溯法和分支限界法 三种算法的对比与分析(时间复杂度方面)

动态规划(dp)

01背包问题的动态规划解法递归方程为:

此时时间复杂度为O(n)。

回溯法

使用回溯法解决01背包问题时,若可选物品为n个,则其解空间由长度为n的0-1向量组成。

此时时间复杂度为O(n2^n)。

分支限界法

使用分支限界法时,首先要对数据进行预处理,将物品重量价值按从小到大排列。分治限界法的缺点是占用内存大,效率不高。

时间复杂度为O(2^n)。

蓝桥杯 ALGO-30算法训练 入学考试(01背包,动态规划)

问题描述
  辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
  如果你是辰辰,你能完成这个任务吗?
输入格式
  第一行有两个整数T(1 <= T <= 1000)和M(1 <= M <= 100),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间(包括1和100)的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
  包括一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
样例输入
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出
3
数据规模和约定
  对于30%的数据,M <= 10;
  对于全部的数据,M <= 100。

分析:01背包问题。对于每一个输入都有采和不采两种状态。
dp[i][j]表示对于前i个草药选择部分采且总时间不超过j小时后,草药的价值的最大值
可得dp[M][T]即是所求的解。
1.当当前输入的草药所需时间大于允许的最大时间j小时的时候,则不采,dp[i][j] = dp[i-1][j];
2.当当前输入的草药所需时间小于等于允许的最大时间小时的时候,考虑采或者不采两种状态,取能够使草药总价值最大的那个:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a] + b);

 

蓝桥杯 ALGO-21算法训练 装箱问题(动态规划,01背包)

问题描述
  有一个箱子容量为V(正整数,0<=V<=20000),同时有n个物品(0<n<=30),每个物品有一个体积(正整数)。
  要求n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
输入格式
  第一行为一个整数,表示箱子容量;
  第二行为一个整数,表示有n个物品;
  接下来n行,每行一个整数表示这n个物品的各自体积。
输出格式
  一个整数,表示箱子剩余空间。
样例输入
24
6
8
3
12
7
9
7
样例输出
0

分析:dp[i][j]表示前i件物品选则部分装入体积为j的背包后,背包总共所占的最大体积,
一共有n件物品,那么dp[n][v]就是前n件物品选择部分装入体积为v的背包后,背包总共占有的最大体积
1.当当前输入的物品体积大于背包容量,则不装入背包,dp[i][j] = dp[i-1][j];
2.当当前输入的物品体积小于等于背包容量,考虑装或者不装两种状态,取体积最大的那个:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-t] + t);